Linearly Transformed Cosine

特定の分布に対して線形変換を施し、コサイン分布の積分へと帰着させる手法

資料

元論文

selfshadow氏

Implementaion

eric heitz

selfshadow(どうでもいいがEric Heitz氏と同一人物なの？)

LTC shader by gam

kanikama shader by shivaduke

世に出回っているLUTは一体何？

現論文は BRDF fitting codeのddsファイルとして提供しているやつ

https://scrapbox.io/files/674337fe72697186d9333f2e.png

selfshadow氏が提供している奴(Fresnelを考慮できる)

https://scrapbox.io/files/67434c2700405634bde6c1f4.png

LUTのフィッティング

線形変換Mに対して元のDistributionとcosine分布D0との関係性

https://scrapbox.io/files/67433c82394848f3fa2927c9.png

Dは任意の分布、つまり線形変換で再現できるのであれば何でもOK, (Microfacetとか限らない)

元論文(Eric Heitz氏の実装)

対象のBSDF

https://scrapbox.io/files/67433ba726ec86338590a457.png

縦theta

横roughness

ラフネスが高い、thetaが0に近いほどfittingが甘い感じがある(緑がTarget, ピンクがFitting)

やっぱG項の非線形性が強いんだろうか

https://scrapbox.io/files/67433bdeba6049f9ed02994c.mp4

selfshadow氏のやつ

対象のBSDF

Eric Heitz氏のものと同一・・・？fittingの実装を見ると同様のものをfittingしているっぽい

全く同一のBSDFだった

縦sqrt(1.0 - costheta)

横roughness

何が違うの？

Mapping(cosineベース)

Matrixの正規化の有無

変換を見るとselfshadowの方がクソデカな値を取らないようになっているのがわかる

クソデカだと精度的な問題もあるだろうし、そういう事情かも？

normalizeによって値がクソデカくなって補間がうまく行かないという事情があるらしい

特にグレージング角ではその影響が強いとのこと

rescalingを抜きに作っているっぽい・・・？(どうやってパラメーター減らしてんの)

https://scrapbox.io/files/6744fe59038b1b29d54714e2.mp4

Clipping

Cosine分布上ではy<0の部分は要らない、そのままやると周回積分がおかしくなるのでy=0でクリッピングする処理をする

実装だとQuadを前提としてClipした3~5角形の各頂点を出力する関数がある

やってることは単純

Clipされる場所はQuadの2つの辺

それら辺のz=0となる分割点を求める

あとはどの辺を選ぶのか場合分け

周回積分で使えるように頂点は周回するように配列に格納されている(入れるときもそうすべきなので注意)

分割点の求め方は多分ベクトルの内分点を求めるやつでやる

https://scrapbox.io/files/674acf8e46153d3a6765bd5f.png

https://scrapbox.io/files/674acf723dc552a145d95550.png

https://scrapbox.io/files/674acf06a4854110ab6a3620.png

実装ではどうせ球面上に投影するので正規化の処理を後々している。

もしClipした正確な頂点が見たかったらこんな感じにClip点を求めればいい

https://scrapbox.io/files/674acfafc05e4c12d70b3263.png

https://scrapbox.io/files/674acfc76da0a8c29b5e14ab.png

https://scrapbox.io/files/674ad6b9801b538472db8f36.png

辺の場合分け

全部の通りでif文分け、Power

ヤコビアンを求めよう

https://scrapbox.io/files/6747276a882e959864d8a3e1.png

立体角のヤコビアン計算はいつも通り変換後の立体角を調べればOK

https://scrapbox.io/files/6747286ecd36623a8eec33ef.png

$ d\omega = d\omega_0 A \frac{\cos{\theta}}{r^2}

という関係がある。Aは返還後の面積、cosは面の向いている方向、rは面の距離。ベクトルとしては次のように表記できる

https://scrapbox.io/files/674729703529fb87a6d316d5.png

Aについて以下の関係が求められる。(がんばりゃこの式が出るはず(確かめてない))

$ M \omega_1 \times M \omega_2 = |M| M^{-T}(\omega_1 \times \omega_2) = |M|M^{-T}\omega_0

cosについて上の式を使えば

$ (\frac{M\omega_0}{||M \omega_0||}) \cdot (\frac{M\omega_1 \times M\omega_2}{||M\omega_1 \times M\omega_2||}) = (\frac{M\omega_0}{||M \omega_0||}) \cdot (\frac{|M|M^{-T}\omega_0}{|||M|M^{-T}\omega_0||})

$ = (\frac{M\omega_0}{||M \omega_0||}) \cdot (\frac{M^{-T}\omega_0}{||M^{-T}\omega_0||}) = (\frac{1}{||M \omega_0|| ||M^{-T}\omega_0||}) M\omega_0 \cdot M^{-T}\omega_0

https://scrapbox.io/files/67472baccd36623a8eec4f40.png

これ使うと

$ M\omega_0 \cdot M^{-T} \omega_0 = \omega_0 \cdot M^T M^{-T} \omega_0 = \omega_0 \cdot I \omega_0 = 1

まとめると

$ d\omega = d\omega_0 A \frac{\cos{\theta}}{r^2} = \frac{|M| |M^{-T}\omega_0| }{||M\omega_o||^2} \frac{1}{||M \omega_0|| ||M^{-T}\omega_0||} = \frac{|M|}{||M\omega_0||^3}

と求められる。つまりは

$ \frac{d\omega}{d\omega_0} = \frac{|M|}{||M\omega_0||^3}

ということになる

reciprocityより

$ \frac{d\omega_0}{d\omega} = \frac{|M^{-1}|}{||M^{-1} \omega_0||^3}

Yeah...

線積分

LambertにおけるArea Lightの積分は次のように求められる

本質的にはAreaLightのエッジに対する周回積分である

https://scrapbox.io/files/674ad8762f06984b3a8c30f5.png

証明について

Stokesの定理を使って証明したやつ

https://scrapbox.io/files/674ad9100cbc0fb0097900d5.png

https://scrapbox.io/files/674ad9175f87ec76dfde9913.png

https://scrapbox.io/files/674ad92784007b3f8717b2b8.png

線形変換Mとは何か？

そもそもの目的は積分値が変わらない変換みたいなのを考えたい

いわゆる変数変換

それがSpecular分布に近似できたらうれしい

$ \int_P D(\omega) d\omega = \int_{P'} D(\omega') \frac{d\omega}{d\omega'} d\omega'

変数変換の関係性から

と求められる

解析可能なのはLambert、ランバートから変数変換したものはランバートとして計算可能

つまり、ランバートから変数変換した分布なら積分が計算可能である

LTCでは変換の仕方に